Factoritzar un nombre

 Factoritzar un nombre és descompondre'l com a producte de nombres primers. Per a això realitzarem successives divisions entre els seus divisors primers fins a obtenir 1 com a quocient.

Per a realitzar les divisions traçarem una barra vertical. A la dreta de la barra escriurem els divisors primers del nombre i a l'esquerra posarem, en primer lloc, el nombre donat i després els successius quocients fins a obtindre l'1..

Açò ho podem veure en l'exemple a continuación

                            

Finalmente, escriurem els productes dels factors primers obtinguts. Aquesta expressió la definim com la factoritzación dels nombres.

Obtindre els nombres primers

El coneixement dels nombres primers és important per a calcular la factorització dels nombres i obtindre, a continuació, el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple.
Un procediment per a obtindre els nombres primers que hi ha entre els 100 primers nombres naturals es coneix com a la Garbella d'Eratòstenes.

Començarem escrivint tots els nombres naturals des del 2 fins al 100.

A continuació comptarem de 2 en 2 i ratllarem els  nombres corresponents. Després, comptarem de 3 en 3 i ratllarem. I farem el mateix amb els nombres que van quedant, comptant la quantitat que indica cada un d'ells. Aquest procés continuarà fins que no puguem ratllar cap número.

Font: https://pinae.wordpress.com/2009/05/19/criba-de-eratostenes/

En acabar el procés els números que queden són nombres primers, tal com apareixen a la imatge

Font: http://ceper-tavara.blogspot.com.es/2014/10/criba-de-eratostenes.html

Càlcul dels divisors d'un nombre

Qualsevol nombre té com a major divisor ell mateix i com a menor divisor l'1. La resta de divisors, si n'hi ha, estàn entre el major i el menor.

Per a calcular tots els divisors d'un nombre seguim el procés següent:
Exemple:
Div (12), representa tots els divisors de 12:

Menor divisor 1, major divisor 12. La resta de divisors, si n'hi ha, els trobarem entre 1 i 12.
12 : 2 = 6 (divisors 2 i 6)
12 : 3 = 4 (divisors 3 i 4)

Escriurem Div (12) : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Si es multipliquen els divisors d'un nombre que estàn situats en els extrems, el resultat és el nombre del qual has calculat els seus divisors.
1 . 12,  2 . 6,  3 . 4, el resultat és 12.

Múltiples d'un nombre

Per a  aconseguir el múltiple d'un nombre enter qualsevol, hem de multiplicar-ho per qualsevol altre nombre natural.

Exemples de múltiples:

Alguns múltiples dels primers deu nombres enters:

Múltiples d'1: 1, 2, 3, 4, 5,.... 13, ....25,..... 37, .....9875 ...
Múltiples de 2: 2, 4, 6, 8, 10, ....18,.... 26, ....32,... 124,.... 896, ....11112 ...
Múltiples de 3: 3, 6, 9, 12,... 33,... 42,... 69,... 96, ...123,... 231,.... 321, ...456, ....546,.... 564 ...
Múltiples de 4: 4, 8, 12, 16, 20,.... 48,.... 96,.... 132,.... 200,.... 1996,.... 2004 ...
Múltiples de 5: 5, 10, 15, 20,.... 55, ...75,.... 100, ....285,.... 19875 ...
Múltiples de 6: 6, 12, 18, 24, 30,.... 66,.... 192,.... 726,.... 1404,.... 5370 ...
Múltiples de 7: 7, 14, 21, 28, 35....,91,.... 175,.... 364,... 874, ... 3199 ...
Múltiples de 8: 8, 16, 24, 32, 40,.... 72,.... 64,.... 104,... 200,.... 368,.... 441,.... 675, ...1064 ...
Múltiples de 9: 9, 18, 27, 36, 45,.... 81,.... 117,.... 1368 ...
Múltiples de 10: 10, 20, 30, 40, 50,....130,.... 250,.... 440,... 1090, ....2360 ...

Els múltiples d'un nombre són infinits, atès que també són infinits els números naturals.

El menor múltiple d'un nombre es l'1 per a tots el nombres.

Divisors

Un nombre a és divisor d'un altre nombre b si la divisió de b entre a és exacta.

Si a és divisor de b, llavors b és divisible per a

El nombre de divisors de b és limitat.

Si la divisió de b entre a dòna de quocient c, la divisió de b entre c, dòna de quocient a. Per tant, a i c son divisors de b.

El menor divisor d'un nombre és l'1 i el major és ell mateix.

Exemples:

Divisors de 4: 1, 2, i 4,  menor divisor l'1 i major divisor el 4
Divisors de 10 : 1, 2, 5 i 10, menor divisor l'1 i major divisor el 10
Divisors de 15:  1, 3, 5 i 15, menor divisor l'1 i major divisor el 15
Divisors de 36:  1, 2, 3, 4, 9, 12, 18 i 36, menor divisor l'1 i major divisor el 36

Múltiples d'un nombre: concepte

El concepte de múltiple ho veurem per mitjà d' un exemple:

"El metge m'ha dit que he de pendre'm la pastilla cada quatre hores"

Açò vol dir que me la pendré dins de quatre , huit , dotze, setze, etc.hores. És a dir, repetiré l'acció cada quatre hores. Diem que l'acció de pendre la pastilla es produïx en múltiples de quatre: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc

Els múltiples d'un nombre s'obtenen multiplicant el nombre pels successius nombres naturals.
.
Quan un nombre és múltiple d'un altre, la divisió del primer entre el segon és exacta, el residu és zero.  

Per exemple, 60 és múltiple de 5, perquè la divisió  60:5 és una divisió exacta, quocient 12 i residu zero. 

Tots els múltiples d'un nombre són divisibles entre el nombre de forma exacta.

En l'exemple de la pastilla,  tots els nombres, 4,8,12,16, etc són divisibles entre 4. 

Propietats dels múltiples: 
1. Qualsevol nombre és múltiple de si mateix.
2. Tots els nombres són múltiples de l'1.
3. El producte de dos múltiples d'un nombre és múltiple del nombre. 

Divisibilitat

Quan la divisió entre dos nombres és exacta diem que existe una relació de divisibilitat entre ells.

És el cas de 45:9, hi ha una relació de divisibilitat entre 45 i 9.

45 és divisible entre 9

Però també podem dir que 45 és múltiple de 9. Si efectuem la divisió exacta tindrem que, per la prova de la divisió, el dividend s'obté multiplicant el divisor pel quocient. En el nostre cas el quocient és 5 i per això, el dividend també és múltiple del quocient. 

Finalment, tindrem les  següents relacions de divisibilitat en el cas d'una divisió exacta:

Dividend és múltiple del divisor
Dividend és múltiple del quocient
Divisor és divisor del dividend
Quocient és divisor del dividend 

En el nostre exemple inicial, podem establir les següents relacions de divisibilitat

45 és múltiple de 9
45 és múltiple de 5
5 és divisor de 45
9 és divisor de 45