Màxim comú divisor

El màxim comú divisor de dos o més nombres és el major divisor natural comú a tots ells.

Si volem calcular el màxim comú divisor de dos o més nombres utilitzant la seua defnició farem el següent:

Començarem escrivint tots els divisors de cada un dels nombres.

Seguidament, assenyalarem tots els divisors que tenen en comú els nombres.

Per a finalitzar prendrem el major d'ells.

Exemple:

Càlcul del màxim comú divisor de 10 y 20. Per a indicar que estem calculant el màxim comú divisor de 10 i 20 ho expressarem de la forma M.C.D.(10 i 20)

Divisors de 10:     1, 2, 5, 10

Divisors de 20:     1, 2, 4, 5, 10 , 20

Els divisors comuns dels nombres són:  1, 2, 5, 10

Per tant, el màxim comú divisor de 10 i 20 és  10 i ho escriurem en la forma M.C.D.(10 i 20)= 10

Mínim comú múltiple

El mínim comú múltiple de dos o més nombres és el menor múltiple natural de tots ells.

Si volem calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres utilitzant la seua defnició farem el següent:

Comencem escrivint múltiples de cada un d'ells.

Seguidament, assenyalarem els múltiples comuns a tots ells.

 Finalment, prendrem el menor dels múltiples comuns.

Exemple:

Càlcul del mínim comú múltiple dels nombres 2, 6 i 9.Per a indicar que estem calculant el mínim comú múltiple de 2, 6 i 9 ho expressarem de la forma m.c.m.(2, 6 i 9)

Múltiples de 2:  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64,  .....

Múltiples de 6:  6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ......

Múltiples de 9:  9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, .........

Múltiples comuns: 18, 36, 54

Per tant, el mínim comú múltiple de 2, 6 i 9  és 18 i ho escriurem en la forma m.c.m.(2, 6 i 9)=18

Factoritzar un nombre

 Factoritzar un nombre és descompondre'l com a producte de nombres primers. Per a això realitzarem successives divisions entre els seus divisors primers fins a obtenir 1 com a quocient.

Per a realitzar les divisions traçarem una barra vertical. A la dreta de la barra escriurem els divisors primers del nombre i a l'esquerra posarem, en primer lloc, el nombre donat i després els successius quocients fins a obtindre l'1..

Açò ho podem veure en l'exemple a continuación

                            

Finalmente, escriurem els productes dels factors primers obtinguts. Aquesta expressió la definim com la factoritzación dels nombres.

Obtindre els nombres primers

El coneixement dels nombres primers és important per a calcular la factorització dels nombres i obtindre, a continuació, el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple.
Un procediment per a obtindre els nombres primers que hi ha entre els 100 primers nombres naturals es coneix com a la Garbella d'Eratòstenes.

Començarem escrivint tots els nombres naturals des del 2 fins al 100.

A continuació comptarem de 2 en 2 i ratllarem els  nombres corresponents. Després, comptarem de 3 en 3 i ratllarem. I farem el mateix amb els nombres que van quedant, comptant la quantitat que indica cada un d'ells. Aquest procés continuarà fins que no puguem ratllar cap número.

Font: https://pinae.wordpress.com/2009/05/19/criba-de-eratostenes/

En acabar el procés els números que queden són nombres primers, tal com apareixen a la imatge

Font: http://ceper-tavara.blogspot.com.es/2014/10/criba-de-eratostenes.html

Càlcul dels divisors d'un nombre

Qualsevol nombre té com a major divisor ell mateix i com a menor divisor l'1. La resta de divisors, si n'hi ha, estàn entre el major i el menor.

Per a calcular tots els divisors d'un nombre seguim el procés següent:
Exemple:
Div (12), representa tots els divisors de 12:

Menor divisor 1, major divisor 12. La resta de divisors, si n'hi ha, els trobarem entre 1 i 12.
12 : 2 = 6 (divisors 2 i 6)
12 : 3 = 4 (divisors 3 i 4)

Escriurem Div (12) : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Si es multipliquen els divisors d'un nombre que estàn situats en els extrems, el resultat és el nombre del qual has calculat els seus divisors.
1 . 12,  2 . 6,  3 . 4, el resultat és 12.